Параллельность прямых и плоскостей

Формулировки без доказательства

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: М ₵ а

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α, М ∈b ∈ α

                2) α - единственная

Доказательство: 

1) На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку М, существует.

3)  Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.

4) Значит, эта плоскость  совпадает с плоскостью α .Следовательно 1)    На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.Следовательно α – единственная.   

Теорема доказана. 

Теорема 2 

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. 

Дано: а∩b=M

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , b ∈ α
                2) α - единственная 

Доказательство:

1) На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M

2) Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.

3) Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α. 

4) Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Теорема доказана. 

Теорема о параллельности прямых

Теорема: 

Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой. 

Дано: прямая а, M ₵ а

Доказать: Существует единственная прямая  b∥а, М ∈ b 

Доказательство:

1)    Через прямую а и точку М, не лежащей на ней, можно провести единственную плоскость ( 1 следствие). В плоскости α можно провести прямую b, параллельную а, проходящую через М.

2)    Докажем, что она единственная. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку М и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда β проходит через М и прямую а. Но через прямую а и точку М проходит плоскость α.

3)    Значит, α и β совпадают. Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельно заданной прямой.

Теорема доказана. 

Теорема о транзитивности прямых

Теорема:

Если две прямые параллельны третье прямой, то они
параллельны. 

Дано: а∥с, b∥c
Доказать: а∥b

Доказательство:

1)    Выберем произвольную точку k на прямой b. Тогда  существует единственная плоскость α проходящая через k и прямую а.

2)    Докажем, что прямая b лежит в плоскости α. Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда пря мая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, но так как пря мая а лежит в плоскости α. По лучи ли противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

3)    Д кажем, что прямые а и b не пресекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы  Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

4)    Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема: 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано: а∥b, b∈ α
Докажем: а∥α

Доказательство:

1)    Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости α

2)    Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α.Значит по лемме о пересечении плоскости параллельными пря мы ми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости.

3)    Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 

Теорема доказана. 

1 Следствие из признака параллельности прямой и плоскости

Теорема:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельны данной прямой.

Дано: а∥α, а∈β, β∩α=b

Доказать: а∥b

Доказательство:

1)    Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b. Докажем, что прямые а и b параллельны.

2)    Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать

2 Следствие из признака параллельности прямой и плоскости

Теорема: 

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Дано: а∈α, а параллельно b

Доказать: b∈α либо b параллельно α

Доказательство:

1)    Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α либо лежит в ней, что и требовалось доказать.

\Теорема доказана.

Признак скрещивающихся прямых

     Теорема:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. 

Дано: CD∩α,AB∈α

Доказать: АB, CD - скрещивающиеся

Доказательство:

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. 

Теорема доказана.

Теорема о скрещивающихся прямых

Теорема: 

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Дано: AB, CD – скрещивающиеся

Доказать: 1) α∥СD, AB ∈α

                2) α - единственная

Доказательство:

1)    Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC.

2)    По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и притом только одна.

3)    Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α.

4)    Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α, значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

5)    Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. 

Теорема доказана.

Теорема о равенстве углов с со направленными сторонами

Теорема:

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: ОА∥О1А1, ОВ∥О1В1

Доказать: ∟АОВ=∟А1О1В1

Доказательство:

1)    На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы от резки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы от резки ОВ и О1В1 были равны.

2)    Рассмотрим четырех уголь ник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм,  стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

3)    Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольнике стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.

4)    Прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

5)    Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А1В1 параллельны и равны.

 6)Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 

  

Признак параллельности плоскостей 

Теорема:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум  прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. 

Дано: а∩b=M; a, b∈α; a1, b1∈β; a1∩b1

Доказать: α∥β

Доказательство:

1)    Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскоcти βпересекающиеся прямые а1 и b1, причем прямая а1 параллельна прямой а, а прямая b1 параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости и параллельны.

2)    Прямая а принадлежит плоскости α, прямая а1 принадлежит плоскости β, а прямая а параллельна прямой а1. Значит, прямая а параллельна плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b1 из плоскости . Значит, пря мая b параллель на плоскости β.

3)    Предположим, что плоскости α и β не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с.

4)    Плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость α проходит через прямую b, параллельную плоскости  β, и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 

1 Свойство параллельных

 плоскостей

Теорема:

Если две параллельные плоскости пересечены  третьей, то линии их пересечения параллельны. 

Дано: γ∩α=а, γ∩β=b, α∥β

Доказать: a∥b

Доказательство:

1)Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

2)Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

3)Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

               

 Теорема доказана. 

2 Свойство параллельных плоскостей

Теорема:

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Дано: α∥β

Доказать: AB=CD

Доказательство:

1)Пусть даны параллельные плоскости α и β параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости.Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

2)Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

3)Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

4)Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 

Лемма о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость

Лемма:

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано:  а || b, а∩α=М

Доказать: b∩α=N

Доказательство:

1.Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

2.Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости  α..

Докажем, что N  - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая b принадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и b параллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. 

Лемма доказана.

Желаем удачи!