Многогранники

Определения

Многогранник  – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани
Сумма всех плоских  углов при каждой вершине в выпуклом многограннике меньше 360 °

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и  B1B2…Bn, лежащих в параллельных плоскостях,  и n параллелограммов, называется призмой

Пирамида – многогранник, поверхность которого (одна грань) многоугольник,  а остальные грани треугольники с общей вершиной

Правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник и его центр совпадает с основанием высоты пирамиды

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофема ( MN )

Усеченная пирамида  -  многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая  параллельна основанию

Теорема Эйлера

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер

Грани + Вершины – Ребра = 2

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани правильные равные многоугольники и в каждой его вершине одно и то же число ребер

Существует пять правильных многогранников :

·       Правильный Тетраэдр:

1.   Поверхность состоит из четырех правильных треугольников

2.   При каждой вершине сходится 3 ребра

·       Правильный Гексаэдр (куб):

1.   Поверхность состоит из шести квадратов

2.   При каждой вершине сходится 3 ребра

·       Правильный Октаэдр:

1.   Поверхность состоит из восьми правильных треугольников

2.   При каждой вершине сходится 4 ребра

·       Правильный Додекаэдр:

1.   Поверхность состоит из 12 правильных пятиугольников

2.   При каждой вершине сходится 3 ребра

·       Правильный Икосаэдр:

1.   Поверхность состоит из двадцати правильных треугольников

2.   При каждой вершине сходится 5 ребер

Вывод формул

Площадь боковой и полной поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту

Доказательство: 

1)  S1,  S2, ... - площади боковых граней

H- длина бокового ребра призмы

a1, a2,...- длины ребер оснований

2) Sбок =  S1 + S2 +… + Sn = a1*H + a2*H + an*H = H*(a1+a2+…+an) = Pосн * H 

Sбок = Pосн * H

Sпов = 2 * Sосн + Sбок

Площадь бокового сечения наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на ребро

Доказательство:

1)   (EMK) ⊥ AA1  

2)S=S CC1BB1  + SBB1AA1 + SAA1CC1  =   

CC1*MK + BB*EK +AA*EM  =   

L*MK + L*EK + L*EM = L*( MK + EK + EM) =   

P⊥сеч * L

Площадь боковой и полной поверхности пирамиды

Доказательство:

1)  S1 – площадь боковой грани,  n – количество боковых граней 

2) Sбок =  S1 * n = ( L * a * n) / 2 = 

= ( Pocн * L) / 2

Sбок = (Росн * L) / 2

Sпов = Sосн + Sбок

Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

Доказательство:

   1) S1,…- площади боковых граней

n – число сторон

а – длина стороны большего основания

а1- длина стороны меньшего основания

L – длина апофемы

   2) Sбок =  S1 + S2 + S3 = (n *( a+a1) *L) / 2=  L*(P+P1) / 2

Sбок =  L *(Р+P1) / 2

Sпов = S1+ S2 + Sбок

S1, S2 – площади оснований