Треугольник

Треугольник-это геометрическая фигура, состоящая из трех соединенных между собой точек (вершин), не лежащих на одной прямой.

Виды треугольников по углам:
Остроугольный-это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º-ABC).
Прямоугольный-это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º-DEF).
Тупоугольный-это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º-GHI).

Виды треугольников по сторонам:
Разносторонний-треугольник, все стороны которого имеют разную длину.(ABC)
Равносторонний- это треугольник, у которого все три стороны равны.(DEF)
Равнобедренный-это треугольник, у которого две стороны равны.(GHI)


Медиана, биссектриса, высота треугольника.

Медиана треугольника- это отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника
- это отрезок соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, делящий угол пополам.
Высота треугольника
- это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей                          противоположную сторону.

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и MNK, у которых AB=MN, AC=MK, углы А и М равны. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику MNK
Т.к. угол А равен углу М, то треугольник ABC можно наложить на треугольник MNK так, что вершина А совместится с вершиной M, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи MN и MK. Поскольку AB=MN, AC=MK, то сторона AВ совместится со стороной MN,а сторона AC- со стороной MK; в частности, совместятся точки B и N, C и K. Следовательно, совместятся стороны BC и NK. Итак, треугольники полностью совместятся, значит, они равны ч.т.д.

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Рассмотрим треугольники ABC и MNK у которых AB=MN, равны углы A и M; B и N. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику MNK .
Наложим треугольник ABC на треугольник MNK так, чтобы вершина A совместилась с вершиной M, сторона AB c равной ей стороне MN, а вершина С и K оказались по одну сторону от прямой MN. Так как равны углы A и M; B и N, то сторона АС наложится на луч MK, а сторона BC – на луч NK.Поэтому вершина С- общая точка сторон AC и BC- окажется лежащей как на луче MK, так и на луче NK и,  следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей – вершиной
K. Значит, совместятся стороны AC и MK; BC и NK
Итак, треугольник ABС равен треугольнику MNK ч.т.д.



Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.



Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

1) Дано: △ABC; AB>AC
Доказать: ∠C >∠B
Отложим на стороне AB отрезок AD, который равен AC и соединим DC.
∠ACD =∠ADC (углы при основании равнобедренного треугольника ADC)
∠ADC - внешний угол треугольника BDC ⇒ ∠ADC=∠B+∠DCB
⇒ ∠ADC>∠B
Таким образом, ∠C >∠ACD, ∠ACD =∠ADC, ∠ADC>∠B ⇒ ∠ACD>∠B ⇒ ∠C >∠B  ч.т.д.

2) Дано: △ABC; ∠C>∠B
Доказать: AB>AC
Предположим, что это не так. Тогда возможно два случая:
В первом случае △ABC-равнобедренный т.е. ∠C=∠B (△A1B1C)
Во втором случае ∠C<∠B (против большей стороны лежит больший угол).(△A2B2C2) Оба случая противоречат условию    ∠C >∠B
⇒ Наше предположение неверно ⇒ AB>AC  ч.т.д.


Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. (Так и есть, ведь гипотенуза лежит против прямого угла, а катет напротив острого угла, а т.к. прямой угол больше острого, то и гипотенуза больше катета)


Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Итак, если равны два угла, то противолежащие стороны тоже равны. Можно предположить, что стороны не равны, но тогда противолежащие углы тоже не равны (против большей стороны лежит больший угол) , что перечит условию ⇒ треугольник-равнобедренный.



Сумма углов треугольника равна 180°

Итак, рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A+∠B+∠C=180°
Проведем через вершину В  прямую FD параллельную стороне АС. ∠BAC=∠ABF; ∠ACB=∠CBD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и FD и секущих АВ и BC ) (1)
Очевидно, что ∠ABF+∠ABC+∠CBD=180°(т.к. это развернутый угол). Из условия (1) получаем, что ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ч.т.д.



Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Пусть S-площадь ABC; AC-основание треугольника; BD-высота проведенная к основанию.
Доказать, что S=0,5AC*BD
Достроим △ABC до параллелограмма ABEC (т.е. AB=CE; AC=BE; AB॥CE; AC॥BE
Рассмотрим △ABC и △BEC:

AC=BE (по построению); AB=CE (по построению); BC-общая

 ⇒ △ABC=△BEC (по 3 признаку)

Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD т.к SABCD  = S△ABC+S△BEC = =2S△ABC ; SABCD=AC *BD (площадь параллелограмма) ⇒ S△ABC=0,5AC*BD  ч.т.д.




Следствие1  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2 Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Дано:△ABC; △MNK; ∠A=∠M
Доказать: S△ABC : S△MNK=AB*AC : MN*MK
Наложим △MNK на △ABC, так чтобы совпали лучи AB и MN;
MK и AC, точки A и M ( это можно сделать т.к. ∠A=∠M )
Соединим BK
Построим  BH⊥AC, который является высотой для △ABC и △ABK, тогда:
S△ABC : S△ABK= 0,5AC*BH : 0,5AK*BH=AC:AK (по площади треугольника) (1)
Построим KF⊥AN, который является высотой для △MNK и  △ABK, тогда:
S△ABK : S△MNK = 0,5AB*KF : 0,5MN*KF=AB:MN (аналогично) (2)
Из (1) и (2) ⇒ S△ABC : S△ABK * S△ABK : S△MNK = AC:AK * AB:MN  ⇒  S△ABC : S△MNK=AB*AC : MN*MK  ч.т.д.


 Теорема:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Дано: △ABC; BD-биссектриса
Доказать: AD:AB=DC:BC
Итак, т.к. ∠ABD=∠DBC, то S△ABD:S△BDC=AB*BD:BD*BC ⇒ S△ABD:S△BDC=AB:BC ( по теореме об оотношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу) (1)
Построим BH⊥AC
S△ABD:S△BDC=0,5AD*BH:0,5DC*BH ⇒ S△ABD:S△BDC=AD:DC (по теореме о площади треугольника) (2)
Из (1) и (2) ⇒ AB:BC = AD:DC  ⇒ AD:AB=DC:BC ч.т.д.


Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух  его сторон. (DE)


Теорема о средней линии треугольника:
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Дано:△ABC; AM=MB; BN=NC (MN-средняя линия △ABC)
Доказать:1) MN॥ AC ;  2) MN=0,5AC
1) Через точку С проведем прямую k ॥ AB; MN ∩ k =E
Рассмотрим △MBN и △NCE:
NC=BN (по условию); ∠MNB=∠CNE (вертикальные); ∠NCE=∠MBN (накрест лежащие при k ॥ AB и секущей BC)
⇒ △MBN =△NCE (по 2 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ CE=MB=AM, а т.к. AM ॥ CE ⇒ AMEC-параллелограмм (по 1 признаку) ⇒ ME ॥ AC (противоположные стороны параллелограмма)  ⇒ MN॥ AC ч.т.д.
2) MN=NE (соответственные, лежат против равных углов B и C) ⇒ ME=2MN, а т.к. ME=AC (противоположные стороны параллелограмма) ⇒ MN=0,5AC  ч.т.д.