Перпендикулярность в пространстве

 

Расшифровка условных знаков:  
  

"⊂ " -  знак принадлежности; 
"⊥" - знак перпендикулярности;
"II" -  знак параллельности; 
"⋂" -  знак пересечения;
"⇒"   -  знак следования;
"∃"- знак существования.







Определения












Теорема " Связь параллельности прямых и их перпендикулярности в плоскости " 


 

1 случай : Если одна из двух параллельных  прямых перпендикулярна  плоскости, то и вторая перпендикулярна этой плоскости.



 

Доказательство:

 

1)Возьмем  с   α ;  

2) Так как  a α,  с   α  следует , что a c
( по определению перпендикулярности 
прямой и плоскости);

3) Так как  a c , a II b  следует, что  b c ( по лемме);

4) Мы взяли производную прямую с , поэтому
b c  , с   α  следует, что b α ( по определению). 



  


2 случай: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

 

 

 

 

Доказательство:


1)Предположим, что b a ;
O b, раз  b не параллельна  а , то можно провести через О прямую  b1 II a;

2) Так как bα =B,  b1α=B1,  bb1=O следует, 
что  b, b1 β ( по второму следствию) и  αβ=BB
( по 3 аксиоме);

3) b α , BB1α  b   BB1;

4) b1 II a,  a α b1 α( по лемме)
b1 BB1;

Таким образом через точку О проходят две прямые перпендикулярные прямой
BB1, что невозможно. Значит предположение неверно, 
и a II b.

Теорема доказана.






Теорема  «Признак перпендикулярности прямой и плоскости» 


Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,  лежащих в этой плоскости, то 
она перпендикулярна этой плоскости.





Доказательство: 

1) Проведем произвольную прямую х , так что x II x1,  О х1, ОА=ОА1

2) Проведем прямую  у  , так что  у c=С, у x1 =  Х ,
 у  b=B

3) АСА1 : СО – медиана(ОА=ОА1 ) и высота ( с а)     
АСА1 – равнобедренный  АС=А1С
Аналогично АВ=ВА1

4) АС=А1С , АВ=ВА1, ВС-общая А1ВС=АВС ( по трем сторонам)  АСВ= А1СВ (соответственно)

5) СХ-общая, АС=А1С ( АСА1 – равнобедренный ),
 АСХ= А1СХ (АСВ= А1СВ  одно и тоже)  
 АСХ= А1СХ ( по двум сторонам и углу между ними)  
  А1Х А- равнобедренный с медианой ОХ  ОХ так же высота    ОХ AА1 x1 а

6) x II x1, x1 а x а ( по лемме)

Так как х- произвольная прямая    а любой прямой, лежащей в плоскости α,  т.е.  а α( по определению)
Теорема доказана.



Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.


Через любую точку пространства проходит прямая, 
перпендикулярная к данной плоскости
 и притом только одна.






Доказательство: 

1)  Проведем в α произвольную прямую а. Проведем плоскость  β перпендикулярно а и проходящую через М. 
 β α = b
В β проведем через точку М прямую сb;

сb , сa  (βa,  c β) , ba,  a,bα  cα ( по признаку перпендикулярности  прямой и плоскости) с существует.

2) Предположим, что существует прямая,  проходящая через М и перпендикулярная α.  
с1α , сα   с II с1 (по теореме о двух прямых перпендикулярных к плоскости)

 с с1, значит наше предположение неверно и   с – единственная.

Теорема доказана.



Теорема о трех перпендикулярах ( ТТП )


Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной 
тогда и только тогда, когда эта прямая перпендикулярна проекции наклонной.



Доказательство:

1)

  • x AB (по усл.);
  • x AH(AH α , xα)    
      ⇒ x (АВH),   ABAH=(АBH)   (по признаку  перпендикулярности прямой и плоскости(*))

2)    x (АВH) x BH, так как BH (ABH)


Доказательство (обратная теорема):


1)  x BH(по усл.)
     x AH(AH α , xα)    x (AВH)(*)
    AB AH=(АВH)


2)  x (АВH) x AB, так как АB (ABH)


Теорема доказана.
 





Теорема косинусов для трехгранного угла 




 Доказательство: 

1) Рассмотрим KON :
KN² =OK² + ON² - 2* ON* OK * cosβ

2) Рассмотрим KMN:
KN² = KM² + MN² - 2 * KM * MN * cosKMN

3) OK² + ON² - 2 * ON * OK * cosβ = KM² + MN² - 2 * KM * MN * cosKMN

OK² - KM² + ON² - MN² + 2 * KM * MN * cosKMN = 2 * OK * ON * cosβ

OM² + OM² + 2 * KM * MN * cosKMN = 2 * OK * ON * cosβ   /2

OM * OM + KM * MN * cosKMN = OK * ON * cosβ     / ( OK * ON )

OM/OK * OM/ON + KM/OK * MN/ON * cosKMN = cosβ

4)   cosβ = cosφ * cosα + sinφ * sinα * cosKMN





Признак перпендикулярности двух плоскостей


Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.





 Доказательство:


1) β α = АС

2) АВ α,   АС α    АВ АС (по опр.)

3) Построим АD AC, AD α

4) BAD=BACD

5) АВ α,   AD α  АВ AD ( по опр.)

6) АВ AD BAD=90°=BACD β α .
Теорема доказана.
 
 




Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей




Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна третьей.






Доказательство: 


1) Через О построим прямые ОА II а, ОС II с , они лежат в плоскости

2)СОА=90°, так как ac

3)    Так как a II b( по усл.), ОА II а( по постр.) b II ОА ( по т. о транзитивности прямых)

4)    Так как a c, ОА II  а, ОС II с  ОА ОС

5)ОА ОС , b II ОА, ОС II с b c

Теорема доказана.




Успехов!