"⊂ " - знак принадлежности;
"⊥" - знак перпендикулярности;
"⊥" - знак перпендикулярности;
"II" - знак параллельности;
"⋂" - знак пересечения;
"⇒" - знак следования;
"∃"- знак существования.
Определения
Теорема " Связь параллельности прямых и их перпендикулярности в плоскости "
1 случай : Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство:
1)Возьмем с ⊂
α ;
2) Так как a ⊥ α, с ⊂ α
следует , что a ⊥ c
( по определению перпендикулярности
прямой и
плоскости);
3) Так как a ⊥ c , a II b следует,
что b ⊥ c ( по лемме);
4) Мы взяли производную прямую с , поэтому
b ⊥ c , с ⊂ α следует, что b ⊥ α ( по
определению).
( по определению перпендикулярности
прямой и плоскости);
2 случай: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Доказательство:
1)Предположим,
что b ∦ a ;
O ∈ b, раз b не параллельна а , то можно провести
через О прямую b1 II a;
2) Так как b⋂α =B, b1⋂α=B1, b⋂b1=O следует,
что
b, b1 ⊂ β ( по второму следствию) и α⋂β=BB1
( по 3 аксиоме);
3) b ⊥ α , BB1⊂α ⇒ b ⊥ BB1;
4) b1 II a, a ⊥ α ⇒ b1 ⊥ α( по лемме) ⇒
b1⊥ BB1;
Таким образом через точку О проходят две прямые перпендикулярные
прямой
BB1, что невозможно. Значит предположение неверно,
и a II b.
Теорема доказана.
Теорема «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащих в этой плоскости, то
она перпендикулярна этой плоскости.
она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство:
1) Проведем произвольную прямую х , так что x II x1, О ∈
х1, ОА=ОА1
2) Проведем прямую у , так что у ⋂
c=С,
у ⋂ x1 = Х ,
у ⋂
b=B
3) △
АСА1 : СО – медиана(ОА=ОА1 ) и высота ( с ⊥
а) ⇒
△ АСА1 – равнобедренный ⇒ АС=А1С
△ АСА1 – равнобедренный ⇒ АС=А1С
Аналогично АВ=ВА1
4) АС=А1С , АВ=ВА1, ВС-общая ⇒
△А1ВС=△АВС ( по трем сторонам) ⇒ ∠АСВ=∠
А1СВ (соответственно)
5) СХ-общая, АС=А1С (△
АСА1 – равнобедренный ),
∠АСХ=∠
А1СХ (∠АСВ=∠
А1СВ одно и тоже) ⇒
△АСХ=△
А1СХ ( по двум сторонам и углу между ними) ⇒
△ А1Х А- равнобедренный с медианой
ОХ ⇒ ОХ так же высота ⇒
ОХ ⊥ AА1⇒
x1⊥
а
6) x II x1,
x1⊥
а ⇒ x⊥ а ( по лемме)
Так как х- произвольная прямая ⇒ а ⊥
любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а ⊥
α( по
определению)
Теорема доказана.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая,
перпендикулярная к данной плоскости
и притом только одна.
Доказательство:
1) Проведем в α произвольную прямую а. Проведем плоскость β перпендикулярно а и проходящую
через М.
β ⋂
α = b
В β проведем через точку М прямую с⊥b;
с⊥b , с⊥a (β⊥a, c ⊂
β) , b⋂a, a,b⊂α ⇒c⊥α ( по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) ⇒
с существует.
2) Предположим, что
существует прямая, проходящая через М и перпендикулярная α.
с1⊥α , с⊥α ⇒ с II с1 (по теореме о двух прямых перпендикулярных к плоскости)
с1⊥α , с⊥α ⇒ с II с1 (по теореме о двух прямых перпендикулярных к плоскости)
с⋂
с1, значит наше предположение неверно и
с – единственная.
Теорема доказана.
Теорема о трех перпендикулярах ( ТТП )
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна
наклонной
тогда и только тогда, когда эта прямая перпендикулярна проекции
наклонной.
Доказательство:
1)
- x ⊥ AB (по усл.);
- x ⊥ AH(AH ⊥ α , x⊂α) ⇒
2) x ⊥
(АВH)
⇒ x ⊥
BH,
так как BH ⊂ (ABH)
Доказательство (обратная теорема):
1) x ⊥
BH(по
усл.)
x ⊥
AH(AH ⊥
α , x⊂α) ⇒ x ⊥
(AВH)(*)
AB ⋂AH=(АВH)
2) x ⊥
(АВH)
⇒ x ⊥
AB,
так как АB⊂ (ABH)
Теорема доказана.
Теорема косинусов для трехгранного угла
Доказательство:
KN² =OK² + ON² - 2* ON*
OK * cosβ
2) Рассмотрим △KMN:
KN² = KM² + MN² - 2 * KM
* MN * cos∠KMN
3) OK² + ON² - 2 * ON *
OK * cosβ = KM² + MN² - 2 * KM *
MN * cos∠KMN
OK² - KM² + ON² - MN² +
2 * KM * MN * cos∠KMN = 2 * OK * ON * cosβ
OM² + OM² + 2 * KM * MN
* cos∠KMN = 2 * OK * ON * cosβ /2
OM * OM + KM * MN * cos∠KMN = OK * ON * cosβ / ( OK * ON )
OM/OK * OM/ON + KM/OK *
MN/ON * cos∠KMN = cosβ
4) cosβ = cosφ * cosα + sinφ * sinα * cos∠KMN
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
1) β ⋂ α =
АС
2) АВ⊥ α, АС ⊂ α ⇒ АВ ⊥ АС (по опр.)
3) Построим АD ⊥
AC,
AD ⊂
α
4) ∠BAD=∠BACD
5) АВ⊥
α, AD ⊂
α ⇒
АВ ⊥ AD (
по опр.)
6) АВ ⊥
AD ⇒ ∠BAD=90°=∠BACD ⇒ β⊥ α .
Теорема доказана. 
Лемма о
перпендикулярности двух прямых к третьей
Если одна из двух
параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая
перпендикулярна третьей.
Доказательство:
1) Через О построим прямые ОА II а, ОС II с , они лежат в плоскости
2)∠СОА=90°, так как a⊥c
3) Так
как a II b( по усл.), ОА II
а( по постр.) ⇒ b II ОА ( по т. о
транзитивности прямых)
4) Так
как a ⊥ c, ОА II
а, ОС II с ⇒
ОА ⊥ ОС
5)ОА ⊥ ОС , b II ОА, ОС II с ⇒ b ⊥ c
Теорема доказана.
Успехов!
